Родился 25 августа 1910 года в городе Нижнеудинске, Иркутской области, в семье крестьянина. Время для страны было тяжёлое. Экономика подорвана Мировой и гражданской войнами. Окончил трёхклассную школу. Оставшись без отца, он в 1920 году переехал в село Укар. В 1930-м вернулся в Нижнеудинск, был разнорабочим экспедиции «Ангарстроя», а затем директором универмага в Нижнеудинске. В июне 1941 года призван в ряды Вооружённых Сил. Служил в Пограничных войсках Средней Азии, откуда был направлен в военное пехотное училище, которое окончил в конце 1943 года и сразу был направлен на фронт. Назначен на должность командира стрелковой роты 170-го гвардейского полка 8 армии 1-го Белорусского фронта. Начались бои за освобождение Польши.
1 августа 1944 года рота под командованием лейтенанта Сбитнева, в числе первых переправилась через реку Вислу на Магнушевский плацдарм и приняла активное участие в захвате немецких траншей и отражении контратак противника. Бойцы выстояли под эти натиском, не уступив пяди земли. Солдаты, увлекаемые бесстрашным командиром, пошли дальше, освобождая землю Польши от немецко-фашистских захватчиков.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» гвардии лейтенант Андрей Сбитнев был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 8668.
После войны два года был военным комендантом одного из немецких городов. Демобилизовавшись в 1947 году, работал на железнодорожном транспорте в Нижнеудинске до самого выхода на пенсию. Ушёл из жизни 26 мая 1970 года. На доме, где жил Андрей Александрович Сбитнев, установлена мемориальная доска.