Борис Андреевич Пискунов родился 5 ноября 1921 года в городе Екатеринбурге (Свердловске) в рабочей семье. Учился в школах №3 и №11. Окончил 6 классов. Помогая семье, пришлось рано начинать трудовую деятельность. Он идёт работать на завод имени Воеводина, монтёром на городской телефонной станции и связистом 1-й городской пожарной команды.
В 1938 году его принимают в ряды ВЛКСМ, а в августе 1940 года призывается на службу в Красную Армию. Службу проходил в Пограничных войсках НКВД на Дальнем Востоке.
На Западном фронте с февраля 1943 года. Участвовал в боях под Орлом, Севском, Новгород-Северским, Лоевым, Речицей. Служил телефонистом в роте связи 43 стрелкового полка, 106 стрелковой дивизии, 65 Армии, Центрального фронта. Свой главный подвиг Борис Андреевич совершил при форсировании Днепра 15 октября 1943 года, под ураганным огнём противника. В составе передового отряда переправился через реку со средствами связи. Сразу же по дну реки прокладывал телефонную кабельную линию, погружая её с помощью подручных предметов. Вышли в районе посёлка Лоев, Лоевского района, Гомельской области.
Так была установлена связь передового отряда со штабом 43 стрелкового полка. На захваченный плацдарм повалились фашисты, пытаясь сбросить бойцов Красной Армии в реку. Контратаки следовали одна за другой, чередуясь с массированными артобстрелами. Неожиданно связь оборвалась. Красноармеец Пискунов нашел место обрыва и восстановил связь, и, не обращая внимания на тяжелое ранение осколком снаряда, продолжал нести боевое дежурство у аппарата. В течение нескольких суток отважный боец-телефонист бессменно обеспечивал связь десантников со штабом полка.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 30 октября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм красноармейцу Пискунову Борису Андреевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1524). С 1960 года жил в Иркутске. Работал в Кировском районном отделе внутренних дел, затем военруком в музыкальном училище. Скончался 21 июня 2001 года. Похоронен в Иркутске на Александровском кладбище. Награждён орденом Ленина, орденами Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, медалями. В 1996 году постановлением городской Думы Иркутска от 29 сентября 1996 года было принято решение о переименовании ул. 5- й Советской в улицу имени Героя Советского Союза Бориса Андреевича Пискунова. На стене дома, в котором жил Б.А. Пискунов, установлена мемориальная доска.